Matemática: Abordagens sobre Progressões

Chamamos de sequência ou sucessão numérica qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. A partir dai, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..., 20) é uma sequência cujo primeiro termo é 2, o segundo termo é 3, o terceiro termo é 4 e assim sucessivamente até 20.

Uma sequência pode ser finita ou infinita.

O exemplo dado acima é de uma sequência finita.

Já a sequência A = (2, 3, 5, 7, 11 ,13, 17 ,19, ... ) é infinita.

Uma sequência numérica geralmente é representada genericamente na forma:

(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , aj é o j-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, j < n).

Por exemplo, na sequência B = ( 1,3,5,7,9... ) podemos dizer que a3 = 5, a5 = 9, etc.

De modo particular, as sequências obedecem a uma lei de formação, ou seja, é possível escrever uma relação matemática entre elas.

Assim, na sequência B acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior somado à 2.

A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da sequência.

Considere por exemplo a sequência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.

Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.

Assim por exemplo, para n = 20, teremos:

an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa sequência (a20) é igual a 65.

Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a sequência S que seria:

S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma sequência, é sempre fácil determiná-la.

Seja por exemplo a sequência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.

Nestas condições, podemos concluir que a sequência poderá ser escrita como:

(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo:

a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

A partir das leis de formação que são estabelecidas entre as sequencias fica evidente o uso de determinadas formulas para sequencia quando relacionamos alguns assuntos usuais. O termo geral por exemplo nos ajuda a ampliar o campo de algumas situações problema como, por exemplo, o de determinar um número extremamente grande. A facilidade com que resolvemos esse tipo de problema com a aplicação de formulas evidencia a importância do seu uso.

Os problemas relacionados a Progressões aritméticas e geométricas são problemas de fácil entendimento e aplicação quando conseguimos aplicar em situações o uso correto das relações e de fórmulas.